Những khái niệm cơ bản về đo lường

ĐO LƯỜNG VÀ DỤNG CỤ ĐO LƯỜNG

Định nghĩa

Đo lường là một quá trình đánh giá định lượng một đại lượng cần đo để có kết quả bằng số so với đơn vị đo. Hoặc có thể định nghĩa rằng đo lường là hành động cụ thể thực hiện bằng công cụ đo lường để tìm trị số của một đại lượng chưa biết biểu thị bằng đơn vị đo lường. Trong một số trường hợpđo lường như là quá trình so sánh đại lượng cần đo với đại lượng chuẩn và số ta nhận được gọi là kết quả đo lường hay đại lượng bị đo .

Kết quả đo lường là giá trị bằng số của đại lượng cần đo AX nó bằng tỷ số của đại lượng cần đo X và đơn vị đo Xo.

=> AX = _X^X₀ => X = AX . Xo

Ví dụ : ta đo được U = 50 V ta có thể xem kết quả đó là U = 50 u

50 – là kết quả đo lường của đại lượng bị đo

u – là lượng đơn vị

Mục đích đo lường là lượng chưa biết mà ta cần xác định.

Đối tượng đo lường là lượng trực tiếp bị đo dùng để tính toán tìm lượng chưa biết .

Tùy trường hợp mà mục đích đo lường và đối tượng đo lường có thể thống nhất lẫn nhau hoặc tách rời nhau.

Ví dụ : S= ab mục đích là m² còn đối tượng là m.

1/16

Những khái niệm cơ bản về đo lường

Phân loại

Thông thường người ta dựa theo cách nhận được kết quả đo lường để phân loại, do đó ta có 3 loại đó là đo trực tiếp, đo gián tiếp và đo tổng hợp và ngoài ra còn có 1 loại nữa là đo thống kê.

Đo trực tiếp: Là ta đem lượng cần đo so sánh với lượng đơn vị bằng dụng cụ đo hay đồng hồ chia độ theo đơn vị đo. Mục đích đo lường và đối tượng đo lường thống nhất với nhau. Đo trực tiếp có thể rất đơn giản nhưng có khi cũng rất phức tạp, thông thường ít khi gặp phép đo hoàn toàn trực tiếp. Ta có thể chia đo lường trực tiếp thành nhiều loại như :

• Phép đọc trực tiếp: Ví dụ đo chiều dài bằng m, đo dòng điện bằng Ampemét, đo điện áp bằng Vônmét, đo nhiệt độ bằng nhiệt kế, đo áp suất…

• Phép chỉ không (hay phép bù). Loại này có độ chính xác khá cao và phải dùng ngoại lực để tiến hành đo lường. Nguyên tắc đo của phép bù là đem lượng chưa biết cân bằng với lượng đo đã biết trước và khi có cân bằng thì đồng hồ chỉ không.

Ví dụ : cân, đo điện áp

• Phép trùng hợp : Theo nguyên tắc của thước cặp để xác định lượng chưa biết.

• Phép thay thế : Nguyên tắc là lần lượt thay đại lượng cần đo bằng đại lượng đã biết.

Ví dụ : Tìm giá trị điện trở chưa biết nhờ thay điện trở đó bằng một hộp điện trở và giữ nguyên dòng điện và điện áp trong mạch.

• Phép cầu sai : thay đại lượng không biết bằng cách đo đại lượng gần nó rồi suy ra. Thường dùng hiệu chỉnh các dụng cụ đo độ dài.

Đo gián tiếp: Lượng cần đo được xác định bằng tính toán theo quan hệ hàm đã biết đối với các lượng bị đo trực tiếp có liên quan.

• Đại lượng cần đo là hàm số của lượng đo trực tiếp Y = f ( x1 …..xn ) Ví dụ : Đo diện tích , công suất.

Trong phép đo gián tiếp mục đích và đối tượng không thống nhất, lượng chưa biết và lượng bị đo không cùng loại. Loại này được dùng rất phổ biến vì trong rất nhiều trường hợp nếu dùng cách đo trực tiếp thì quá phức tạp. Đo gián tiếp thường mắc sai số và là tổng hợp của sai số trong phép đo trực tiếp.

2/16

Những khái niệm cơ bản về đo lường

Đo tổng hợp:Là tiến hành đo nhiều lần ở các điều kiện khác nhau để xác định được một hệ phương trình biểu thị quan hệ giữa các đại lượng chưa biết và các đại lượng bị đo trực tiếp, từ đó tìm ra các lượng chưa biết.

Ví dụ : Đã biết qui luật dãn nở dài do ảnh hưởng của nhiệt độ là :

L = Lo ( 1 + αt + βt² ). Vậy muốn tìm các hệ số α, β và chiều dài của vật ở nhiệt độ 0 ⁰C là Lo thì ta có thể đo trực tiếp chiều dài ở nhiệt độ t là Lt, tiến hành đo 3 lần ở các nhiệt độ khác nhau ta có hệ 3 phương trình và từ đó ta xác định được các lượng chưa biết bằng tính toán.

Đo thống kế : Để đảm bảo độ chính xác của phép đo nhiều khi người ta phải sử dụng phương pháp đo thống kế, tức là ta phải đo nhiều lần sau đó lấy giá trị trung bình.

Cách đo này đặc biệt hữu hiệu khi tín hiệu đo là ngẫu nhiên hoặc khi kiểm tra độ chính xác của một dụng cụ đo.

Dụng cụ đo lường

Dụng cụ để tiến hành đo lường bao gồm rất nhiều loại khác nhau về cấu tạo, nguyên lý làm việc, công dụng … Xét riêng về mặt thực hiện phép đo thì có thể

chia dụng cụ đo lường thành 2 loại, đó là: vật đo và đồng hồ đo.

Vật đo là biểu hiện cụ thể của đơn vị đo, ví dụ như quả cân, mét, điện trở tiêu chuẩn…

Đồng hồ đo: Là những dụng cụ có thể đủ để tiến hành đo lường hoặc kèm với vật đo. Có nhiều loại đồng hồ đo khác nhau về cấu tạo, nguyên lý làm việc… nhưng xét về tác dụng của các bộ phận trong đồng hồ thì bất kỳ đồng hồ nào cũng gồm bởi 3 bộ phận là bộ phận nhạy cảm, bộ phận chỉ thị và bộ phận chuyển đổi trung gian.

• Bộ phận nhạy cảm : (đồng hồ sơ cấp hay đầu đo) tiếp xúc trực tiếp hay gián tiếp với đối tượng cần đo. Trong trường hợp bôỷ phận nhạy cảm đứng riêng biệt và trực tiếp tiếp xúc với đối tượng cần đo thì được gọi là đồng hồ sơ cấp.

• Bộ phận chuyển đổi : Làm chuyển tính hiệu do bộ phận nhạy cảm phát rađưa về đồng hồ thứ cấp, bộ phận này có thể chuyển đổi toàn bộ hay một phần, giữ nguyên hay thay đổi hoặc khuyếch đại.

• Bộ phận chỉ thị đồng hồ : (Đồng hồ thứ cấp) căn cứ vào tín hiệu của bộ phận nhạy cảm chỉ cho người đo biết kết quả.

Các loại đồng hồ đo :

3/16

Những khái niệm cơ bản về đo lường

Phân loại theo cách nhận được lượng bị đo từ đồng hồ thứ cấp

• Đồng hồ so sánh: Làm nhiệm vụ so sánh lượng bị đo với vật đo. Lượng bị đo được tính theo vật đo.

Ví dụ : cái cân, điện thế kế…

• Đồng hồ chỉ thị: Cho biết trị số tức thời của lượng bị đo nhờ thang chia độ, cái chỉ thị hoặc dòng chữ số.

• Giới hạn đo dưới Amin & Giới hạn đo trên Amax.

• Khoảng cách giữa hai vạch gần nhất gọi là một độ chia.

Thước chia độ có thể 1 phía, 2 phía, chứa hoặc không chứa điểm 0.

• Giá trị của độ chia: là trị số biến đổi của lượng bị đo làm cho kim di chuyển 1 độ chia, độ chia có thể đều hay không đều tùy giá trị mỗi độ chia bằng nhau hay khác nhau. Có thể đọc trực tiếp hay phải nhân thêm các hệ số nào đó.

• Khoảng đo là khoảng chia của thang từ giới hạn dưới đến giới hạn trên.

• Đồng hồ tự ghi: là đồng hồ có thể tự ghi lại giá trị tức thời của đại lượng đo trên giấy dưới dạng đường cong f(t) phụ thuộc vào thời gian. Đồng hồ tự ghi có thể ghi liên tục hay gián đoạn, độ chính xác kém hơn đồng hồ chỉ thị.

Loại này trên một băng có thể có nhiều chỉ số

• Đồng hồ tích phân: là loại đồng hồ ghi lại tổng số vật chất chuyển qua trong một số thời gian nào đó như đồng hồ đo lưu lượng.

• Đồng hồ kiểu tín hiệu: loại này bộ phận chỉ thị phát ra tín hiệu (ánh sáng hay âm thanh) khi đại lượng đo đạt đến giá trị nào đó 1 đồng hồ có thể có nhiều bộ phận chỉ thị.

4/16

Những khái niệm cơ bản về đo lường

Phân loại theo các tham số cần đo:

• Đồng hồ đo áp suất : áp kế – chân không kế

• Đồng hồ đo lưu lượng : lưu lượng kế

• Đồng hồ đo nhiệt độ : nhiệt kế, hỏa kế

• Đồng hồ đo mức cao : đo mức của nhiên liệu, nước.

• Đồng hồ đo thành phần vật chất : bộ phân tích

CÁC THAM SỐ CỦA ĐỒNG HỒ

Trong thực tế giá trị đo lường nhận được từng đồng hồ khác với giá trị thực của lượng bị đo. Giá trị thực không biết được và người ta thay giá trị thực này bằng giá trị thực nghiệm, giá trị này phụ thuộc phẩm chất đồng hồ đo hay nói cách khác là các tham số của đồng hồ. Chúng ta chỉ xét đến những tham số chủ yếu có liên quan dến độ chính xác của số đo do đồng hồ cho biết, đó là : Sai số và cấp chính xác, biến sai , độ nhạy và hạn không nhạy.

Sai số và cấp chính xác

Trên thực tế không thể có một đồng hồ đo lý tưởng cho số đo đúng trị số thật của tham số cần đo. Đó là do vì nguyên tắc đo lường và kết cấu của đồng hồ không thể tuyệt đối hoàn thiện.

Gọi giá trị đo được là : Ađ

Còn giá trị thực là : At

– Sai số tuyệt đối : là độ sai lệch thực tế

5/16

Những khái niệm cơ bản về đo lường

• = Ad – At

– Sai số tương đối : γ_o = _A^γ_t .100

Trong thực tế ta tính : γ_o = _A^γ_d .100

– Sai số qui dẫn: là tỉ số giữa s.số tuyệt đối đối với khoảng đo của đồng hồ (%)

– Cấp chính xác : là sai số quy dẫn lớn nhất trong khoảng đo của đồng hồ

Dãy cấp chính xác 0.1 ; 0.2 ; 0.5 ; 1 ; 1.5 ; 2.5 ; 4.

Tiêu chuẩn để đánh giá độ chính xác của dụng cụ đo là CCX

Các dụng cụ đo có CCX = 0.1 hay 0.2 gọi là dụng cụ chuẩn. Còn dùng trong phòng thí nghiệm thường là loại có CCX = 0.5 , 1. Các loại khác được dùng trong công nghiệp. Khi nói dụng cụ đo có cấp chính xác là 1,5 tức là

Sqd = 1,5%

Các loại sai số định tính: Trong khi sử dụng đồng hồ người ta thường để ý đến các loại sai số sau

• Sai số cho phép: là sai số lớn nhất cho phép đối với bất kỳ vạch chia nào của đồng hồ (với quy định đồng hồ vạch đúng t/c kỹ thuật) để giữ đúng cấp chính xác của đồng hồ.

• Sai số cơ bản: là sai số lớn nhất của bản thân đồng hồ khi đồng hồ làm việc bình thường, loại này do cấu tạo của đồng hồ.

• Sai số phụ: do điều kiện khách quan gây nên.

Trong các công thức tính sai số ta dựa vào sai số cơ bản còn sai số phụ thì không tính đến trong các phép đo.

Biến sai

Là độ sai lệch lớn nhất giữa các sai số khi đo nhiều lần 1 tham số cần đo ở cùng 1 điều kiện đo lường : Adm – And max

6/16

Những khái niệm cơ bản về đo lường

Chú ý : Biến sai số chỉ của đồng hồ không được lớn hơn sai số cho phép của đồng hồ .

Độ nhạy

S = ^DX_DA

ΔX : độ chuyển động của kim chỉ thị (m ; độ …)

ΔA : độ thay đổi của giá trị bị đo.

Ví dụ : S = ³₂ = 1,5 mm/^oC

• Ta có thể tăng độ nhạy bằng cách tăng hệ số khuếch đại (trong lúc này không được tăng sai số cơ bản của đồng hồ)

• Giá trị chia độ bằng 1/s =C hay còn gọi là hằng số của dụng cụ đo

Giá trị của mỗi độ chia không được nhỏ hơn trị tuyệt đối của sai số cho phép của đồng hồ.

Hạn không nhạy

Là mức độ biến đổi nhỏ nhất của tham số cần đo để cái chỉ thị bắt đầu làm việc.

Chỉ số của hạn không nhạy nhỏ hơn 1/2 sai số cơ bản.

• Trong thực tế ta không dùng dụng cụ có độ nhạy cao vì làm kim dao động dẫn đến hỏng dụng cụ.

Kiểm định đồng hồ

Xác định chất lượng làm việc của đồng hồ bằng cách so sánh với đồng hồ chuẩn để đánh giá mức độ làm việc.

Nội dung: Xét sai số cho phép : sai số cơ bản, biến sai, độ nhạy và hạn không nhạy của đồng hồ.

• Đối với đồng hồ dùng trong công nghiệp CCX 2.5 … thì kiểm định 3 ÷ 5 vạch chia độ trong đó có Amin & Amax.

• Đồng hồ dùng trong phòng thí nghiệm : kiểm định 10 ÷ 15 vạch và sau khi kiểm tra dùng bảng bổ chính. Thông thường dùng đồng hồ có CCX là 0.1 ; 0.2 để kiểm định các đồng hồ cấp chính xác lớn hơn 0.5 .. 1.

7/16

Những khái niệm cơ bản về đo lường

Các đồng hồ chuẩn cấp 1 có CCX < 0.1 thì kiểm định bằng phương pháp đặc biệt và dùng đồng hồ chuẩn gốc.

Đồng hồ chuẩn cấp 2 (CCX 0.1; 0.2) thì dùng đồng hồ chuẩn cấp 1 để kiểm định.

SAI SỐ ĐO LƯỜNG

Trong khi tiến hành đo lường, trị số mà người xem, đo nhận được không bao giờ hoàn toàn đúng với trị số thật của tham số cần đo, sai lệch giữa hai trị số đó gọi là sai số đo lường. Dù tiến hành đo lường hết sức cẩn thận và dùng các công cụ đo lường cực kỳ tinh

6. … cũng không thể làm mất được sai số đo lường, vì trên thực tế không thể có công cụ đo lường tuyệt đối hoàn thiện, người xem đo tuyệt đối không mắc thiếu sót và điều kiện đo lường tuyệt đối không thay đổi …

Trị số đo lường chỉ là trị số gần đúng của tham số cần đo, nó chỉ có thể biểu thị bởi một số có hạn chữ số đáng tin cậy tùy theo mức độ chính xác của việc đo lường. Không thể làm mất được sai số đo lường và cũng không nên tìm cách giảm nhỏ nó tới quá mức độ có thể cho phép thực hiện vì như vậy rất tốn kém. Do đó người ta thừa nhận tồn tại sai số đo lường và tìm cách hạn chế sai số đó trong một phạm vi cần thiết rồi dùng tính toán để đánh giá sai số mắc phải và đánh giá kết quả đo lường.

Người làm công tác đo lường, thí nghiệm, cần phải đi sâu tìm hiểu các dạng sai số, nguyên nhân gây sai số để tìm cách khắc phục và biết cách làm mất ảnh hưởng của sai số đối với kết quả đo lường.

Các loại sai số

Tùy theo nguyên nhân gây sai số trong quá trình đo lường mà người ta chia sai số thành 3 loại sai số sau: – Sai số nhầm lẫn – Sai số hệ thống – và sai số ngẫu nhiên .

1- Sai số nhầm lẫn: Trong quá trình đo lường, những sai số do người xem đo đọc sai, ghi chép sai, thao tác sai, tính sai, vô ý làm sai …. được gọi là sai sốnhầm lẫn. Sai số đó làm

cho số đo được khác hẳn với các số đo khác, như vậy sai số nhầm lẫn thường có trị số rất lớn và hoàn toàn không có quy luật hơn nữa không biết nó có xuất hiện hay không, vì vậy nên rất khó định ra một tiêu chuẩn để tìm ra và loại bỏ những số đo có mắc sai số nhầm lẫn. Cách tốt nhất là tiến hành đo lường một cách cẩn thận để tránh mắc phải sai số nhầm lẫn. Trong thực tế cũng có khi người ta xem số đo có mắc sai số nhầm lẫn là số đo có sai số lớn hơn 3 lần sai số trung bình mắc phải khi đo nhiều lần tham số cần đo.

2- Sai số hệ thống: Sai số hệ thống thường xuất hiện do cách sử dụng đồng hồ đo không hợp lý, do bản thân đồng hồ đo có khuyết điểm, hay điều kiện đo lường biến đổi không thích hợp và đặc biệt là khi không hiểu biết kỹ lưỡng tính chất của đối tượng đo lường… Trị số của sai số hệ thống thường cố định hoặc là biến đổi theo quy luật vì nói chung

8/16

Những khái niệm cơ bản về đo lường

những nguyên nhân tạo nên nó cũng là những nguyên nhân cố định hoặc biến đổi theo quy luật. Vì vậy mà chúng ta có thể làm mất sai số hệ thống trong số đo bằng cách tìm các trị số bổ chính hoặc là sắp xếp đo lường một cách thích đáng.

Nếu xếp theo nguyên nhân thì chúng ta có thể chia sai số hệ thống thành các loại sau :

a- Sai số công cụ : là do thiếu sót của công cụ đo lường gây nên.

Ví dụ : – Chia độ sai – Kim không nằm đúng vị trí ban đầu – tay đòn của cân không bằng nhau…

b- Sai số do sử dụng đồng hồ không đúng quy định : Ví dụ : – Đặt đồng hồ ở nơi có ảnh hưởng của nhiệt độ, của từ trường, vị trí đồng hồ không đặt đúng quy định…

c- Sai số do chủ quan của người xem đo. Ví dụ : Đọc số sớm hay muộn hơn thực tế, ngắm đọc vạch chia theo đường xiên…

d- Sai số do phương pháp : Do chọn phương pháp đo chưa hợp lý, không nắm vững phương pháp đo …

Nếu xét về mặt trị số thì có thể chia sai số hệ thống thành 2 loại.

e- Sai số hệ thống cố định :Sai số này có trị số và dấu không đổi trongsuốt quá trình đo lường. Ví dụ sai số do trọng lượng của quả cân…

f- Sai số hệ thống biến đổi : Trị số của sai số biến đổi theo chu kỳ, tăng hoặc giảm theo quy luật (số mũ hay cấp số …). Ví dụ : Điện áp của pin bị yếu dần trong quá trình đo lường, sai số khi đo độ dài bằng một thước đo có độ dài không đúng….

Vậy để hạn chế sai số hệ thống thì đồng hồ phải được thiết kế và chế tạo thật tốt, người đo phải biết sử dụng thành thạo dụng cụ đo, phải biết lựa chọn phương pháp đo một cách hợp lý nhất và tìm mọi cách giữ cho điều kiện đo lường không thay đổi.

3- Sai số ngẫu nhiên : Trong quá trình đo lường, những sai số mà không thể tránh khỏi gây bởi sự không chính xác tất yếu do các nhân tố hoàn toàn ngẫu nhiên được gọi là sai số ngẫu nhiên. Sự xuất hiện mỗi sai số ngẫu nhiên riêng biệt không có quy luật . Nguyên nhân gây sai số ngẫu nhiên là do những biến đổi rất nhỏ thuộc rất nhiều mặt không có liên quan với nhau xảy ra trong khi đo lường, mà ta không có cách nào tính trước được. Vì vậy chỉ có thể thừa nhận sự tồn tại của sai số ngẫu nhiên và tìm cách tính toán trị số của nó chứ không thể tìm kiếm và khử các nguyên nhân gây ra nó. Loại sai số này có tính tương đối và giữa chúng không có ranh giới.

9/16

Những khái niệm cơ bản về đo lường

Mỗi sai số ngẫu nhiên xuất hiện không theo quy luật không thể biết trước và không thể khống chế được, nhưng khi tiến hành đo lường rất nhiều lần thì tập hợp rất nhiều sai số ngẫu nhiên của các lần đo đó sẽ tuân theo quy luật thống kê.

Tính sai số ngẫu nhiên trong phép đo trực tiếp

a- Qui luật phân bố số đo và sai số ngẫu nhiên:

Đo liên tục và trực tiếp một tham số cần đo ở điều kiện đo lường không đổi ta được một dãy số đo x1 , x2 ,….., xi,… , xn và giả thiết lúc đo rất cẩn thận (không có sai số nhầm lẫn

và sai số hệ thống). Gọi X là trị số thật của tham số cần đo. Ta không thể biết được một cách tuyệt đối đúng trị số của X vì trong bất kỳ số đo xi nào cũng có sai số ngẫu nhiên. Song có thể biết trị số gần đúng đến một chừng mực nào đó của X tùy theo chất lượng của việc đo lường. Dùng trị số gần đúng thay cho X thì sẽ mắc sai số, ta không biết được cụ thể sai số đó là bao nhiêu nhưng có thể biết được là trị số sai số chỉ trong một khoảng giới hạn nào đó với một đảm bảo nhất định nhờ cách tính toán sai số ngẫu nhiên.

Trong phép đo trên, nếu ta càng đo nhiều lần hơn để được số lần đo n thật lớn thì ta thấy rằng (như hình vẽ)

• Các số đo xi đều phân bố một cách đối xứng với một trị số X.

• Các số đo xi có trị số càng gần X càng nhiều,

• Các số đo xi càng khác xa X càng ít và các số đo xi khác X rất lớn thực tế hầu như không có.

10/16

Những khái niệm cơ bản về đo lường

Theo đường cong phân bố các số đo ta thấy X là trị số tiêu biểu nhất trong dãy số đo xi vì các lần thu được các số đo có trị số bằng X là lớn nhất và xem X là trị số thực của tham số cần đo.

Nếu gọi δi là sai số ngẫu nhiên của số đo xi thì ta có δi = xi – X.

Gọi y là cơ hội xuất hiện sai số ngẫu nhiên có trị số là δ thì ta có đường cong phân bố của sai số ngẫu nhiên như hình vẽ (đường phân bố Gauss).

δ² y = _σ√¹_2π .e ^2σ2

Trong đó : e – là cơ số logarit

δ – là sai số ngẫu nhiên

√∑ⁿ   (δ²)

σ =          i = 1        i    – là sai số trung bình bình phương của sai số

n

n – là số lần đo

Từ rất nhiều thử nghiệm tương tự mang tính chất ngẫu nhiên người ta cũng được kết quả tương tự như trên, chúng hoàn toàn phù hợp với các tiên đề của lý thuyết xác suất dùng làm cơ sở lý luận để tính toán sai số ngẫu nhiên.

• Tiên đề về tính ngẫu nhiên : Khi tiến hành một phép đo với số lần n rất lớn thì cơ hội xuất hiện sai số ngẫu nhiên có trị số đối nhau là như nhau.

11/16

Những khái niệm cơ bản về đo lường

• Tiên đề về tính phân bố : Khi tiến hành một phép đo với số lần n rất lớn thì cơ hội xuất hiện sai số ngẫu nhiên có trị số tuyệt đối nhỏ nhiều hơn là cơ hội xuất hiện sai số ngẫu nhiên có trị số tuyệt đối lớn. Cơ hội xuất hiện sai số ngẫu nhiên có trị số tuyệt đối quá lớn là rất hiếm hoặc bằng không.

Vậy trong khi đo lường phép đo nào mà sai số không phù hợp với 2 tiên đề trên thì chắc chắn là sai số trong phép đo đó không chỉ hoàn toàn do nguyên nhân ngẫu nhiên gây ra mà còn chịu ảnh hưởng của sai số hệ thống và sai số nhầm lẫn.

b- Sai số của dãy số đo:

− δ²

Với hàm phân bố chuẩn của sai số ngẫu nhiên y = _σ√¹_2π .e 2σ²

Nếu σ càng nhỏ thì sai số nhỏ càng dễ xuất hiện, tức là độ chính xác của phép đo càng lớn. Vậy với số lần đo n rất lớn ( n -> ∞ ) thì

√∑ⁿ   (δ²)

σ =           i = 1      i     (với δi = xi – X ) là sai số trung bình bình phương và đặc trưng cho độ

n

chính xác của dãy số đo.

Trong thực tế n là hữu hạn nên ta không thể tìm được X mà ta lấy giá trị trung bình toán của các số đo L = ¹_n ∑ⁿ_{i= 1} x_i thay cho X và lúc này ta có sai số dư u= x_i– L và ta tính gần đúng sai số trung bình bình phương của dãy số đo được là :

√∑ⁿ   (ν²)

σ =          i = 1     i  (với n là hữu hạn) nó đặc trưng cho độ chính xác của dãy số đo.

n

Ngoài sai số σ người ta còn dùng sai số ngẫu nhiên ρ, sai số trung bình toán θ và sai số giới hạn δlim những sai số đó đều thuộc loại sai số ngẫu nhiên của dãy số đo thu được. Định nghĩa của các sai số đó như sau:

• Nếu P (-ρ, +ρ) = 1/2 thì ρ gọi là sai số ngẫu nhiên của dãy số biến đổi và tra bảng tích phân xác suất ta được ρ = 2/3 σ.

• θ = ¹_n ∑ⁿ_{i= 1} ∣δ_i∣ biến đổi và tính toán ta được θ = 4/5σ. Tra ngược lại bảng ta có P (-θ ,+θ ) = 58%.

• Sai số giới hạn δlim là sai số có trị số đủ lớn sao cho trong thực tế hầu như không có sai số ngẫu nhiên nào trong phép đo có trị số lớn hơn δlim. Người ta thường dùng δlim = 3σ lúc này P (-δlim ,+δlim) = 99,7%. Có khi ta dùng δlim = 2σ.

12/16

Những khái niệm cơ bản về đo lường

c- Sai số của kết quả đo lường:

Theo trên từ L = ¹_n ∑ⁿ_{i= 1} x_i => nL = ∑ⁿ_{i= 1} x_i do đó ta có

∑ⁿ_{i= 1} d_i= ∑ⁿ_{i= 1} (x_i − X) = nL – nX => L – X = ¹_n ∑ⁿ_{i= 1} d_i . L là trị số dùng làm kết qủa đo lường nên cũng gọi λ = L – X là sai số ngẫu nhiên của kết quả đo lường. Vậy λ = ¹_n ∑ⁿ_{i= 1} δ_i vì các δi có trị số trái dấu nên ∑ⁿ_{i= 1} δ_icó thể rất nhỏ mặc dầu dãy số đo được không có độ chính xác cao. Muốn đánh giá được mức độ chính xác của dãy số đo được thì tiêu chuẩn đánh giá cần phải ảnh hưởng được mức độ lớn nhỏ của δi.Vì vậy người ta chọn tiêu chuẩn so sánh là S = √λ² biến đổi và tính ra được S = _√^σ_n và gọi S là sai số trung bình bình phương của kết quả đo lường.Ngoài S để đánh giá độ chính xác của kết quả đo lường người ta còn có thể dùng một trong các loại sai số sau :

Sai số ngẫu nhiên của kết quả đo lường . => X = L ± R

• Sai số trung bình toán của kết quả đo lường. => X = L ± T

λ_lim= 3S – Sai số giới hạn của kết quả đo lường. => X = L ± λ_lim

Chú ý:

• Bản thân các sai số S, R, T cũng có sai số nên trong các phép đo tinh vi nhất ( phép đo mà ρ/L < 0,1% ) thì chúng ta cần phải xét đến. Sai số của S, R, T cũng gồm 3 loại như trên tức là ứng với R thì có rR, sR, tR.

Lúc này ta có thể viết X = L ± ( R ± rR) . Tương tự cũng với S và T.

13/16

Những khái niệm cơ bản về đo lường

• Trong trường hợp phép đo không thể thực hiện được với điều kiện đo lường như nhau thì độ chính xác của mỗi số đo không như nhau, vì vậy cần xét đến mức độ tin cậy của các số đo thu được. Số dùng biểu thị mức độ tin cậy đó gọi là trọng độ p, và ta dùng trị trung bình cộng trọng độ.

∑ⁿ     x_ip_i

Lo =       ^{i = 1}

^∑n_{i= 1} ^pi

Tính sai số ngẫu nhiên trong phép đo gián tiếp

Theo định nghĩa của phép đo gián tiếp ta có :

y = f ( x1, x2,….xn). Vì các tham số x1, x2,….xn được xác định bằng phép đo trực tiếp

nên ta sẽ thu được xi = Li ± ξ_i

ξ_i – là sai số tuyệt đối. Từ các trị số đã thu được ta có thể tính toán (lấy vi phân rồi bình phương 2 vế và bỏ qua bậc cao) để xác định được y là lượng chưa biết của phép đo gián tiếp và viết được : yi = Ly ± ξ_y Với

Như vậy ta dùng đạo hàm riêng và các sai số ξ_i của các dãy số đo mà ta tính được ξ_y của dãy số đo tương ứng của tham số đo gián tiếp.

Biết được ξ_y ta sẽ tính được các loại sai số khác theo quan hệ giữa các sai số mà ta đã

biết trong phép đo trực tiếp. Ví dụ: Sy = _√^σ_n^y ở đây n là số lần đo của phép đo trực tiếp dùng đo các tham số xi để xác định tham số đo gián tiếp y.

Một số trường hợp cụ thể thường gặp trong phép đo gián tiếp :

+ Trường hợp : y = a1x1 + a2x2 + ……. + amxm

Trong đó các tham số ai là các hệ số cố định của các tham số đo trực tiếp x1, x2,….xm.

áp dụng cách tính toán ta được công thức tính sai số tuyóỷt đối :

ξ_y = √∑ⁿ_{i= 1} a²_iξ²_i và Ly = ∑ⁿ_{i= 1} a_iL_i

Sai số tương đối : ξ_oy = ^ξ_y^y ta thường dùng ξ_oy = _L^ξy_y

+ Trường hợp : y = kx^a₁1.x^a₂2…..x^a_mm . k – là hệ số cố định

14/16

Những khái niệm cơ bản về đo lường

còn các ai là các hằng số. Ta có sai số tương đối :

x_oy = √a²₁x²₀₁ + a²₂x²₀₂ + …+a²_mx²_0m.

L_y = k. L^a₁¹.L^a₂²….L^a_m^m. x_0i = ^x_xⁱ_i . Và ξ_y = Ly. ξ_oy

Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Một hình vuông có cạnh là 5,00 ± 0,05m. Hãy tính sai số gây nên do các cạnh đối với diện tích hình vuông ?

Giải: a- Gọi cạnh hình vuông là x thì diện tích hình vuông sẽ là y = x²

Ta biết rằng ξ_oy = √a²₁.ξ²_ox= √2²(^0,05_5,00 )² = 0,02

Ly = 5,00 x 5,00 = 25,0000 m² → x_y= 0,02 . 25 m² = 0,5 m² Vậy trị số đúng của y là y = 25 ± 0,5 m² .

b- Ta cũng có thể tính sai số tuyệt đối trước rồi tìm sai số tương đối

∂    2                        ∂

vì y = x2 nên theo định nghĩa ξ_y = _√( _∂x^y ) ξ²_x => ξ_y = _∂x^y ξ_x = 2x.ξ_x

• ξ_y = 2 x 5,00 x 5,00 = 25m² ; Ly = 5,00 x 5,00 = 25m²

• Vậy y = 25 ± 0,5m².

Ta cũng được : ξ_oy = ^0,5₂₅ = 0,02 = 2%

Ví dụ 2: Từ kết quả đo trực tiếp dòng điện I = 7,130 ± 0,018 Ampe , U = 218,7 ± 0,4 volt , t = 800,0 ± 0,6 sec . Nếu xác định điện năng A bằng phương pháp gián tiếp thì trị số của A là bao nhiêu ?

Giải: Ta biết rằng A = U I t . Với kết quả đo gián tiếp trên ta tính được kết quả đo gián tiếp A là :

LA = 7,13 x 218,7 x 800 = 12474,65 jun. Sai số tương đối của kết quả đo gián tiếp là :

x_oA = √(^0,018_7,13 )² + (_218,7^0,4 )² + (₈₀₀^0,6 )² = 0,0032.

15/16

Những khái niệm cơ bản về đo lường

Sai số tuyệt đối của kết quả đo là :

x_A = x_0A. LA = 0,0032 x 12474,65 = 39,9 jun

Vậy A = 12470,00 ± 39,9 jun.

Chú ý: Về mặt đo lường ta cần phân biệt rõ sự khác nhau của các biểu thức toán có giá trị như nhau về mặt toán nhưng viết khác nhau. Xét 2 ví dụ :

1- Với y = x.x.x , biến x được cho 3 lần riêng rẽ như nhau khi tìm thể tích khối lập phương có cạnh là x. Ta cũng có thể viết y = x³, trường hợp này có nghĩa là chỉ đo 1 cạnh x và dùng phép đo gián tiếp để xác định y. Sai số của y trong 2 trường hợp trên rõ ràng là không giống nhau.

cụ thể : y = x.x.x vậy ξ_oy = √3ξ_ox

còn y = x³ vậy ξ_oy = 3 ξ_ox

2- Với y = 2x và y = x + x có sai số là ξ_y = 2 ξ_x và ξ_y = √2ξ_x

Ta thấy rằng khi đo riêng lẻ thì sai số nhỏ hơn. Sở dĩ như vậy là vì khi đo riêng lẻ các sai số ngẫu nhiên của chúng bù trừ cho nhau.